向量范数
作业题
向量x= \left[\begin{array}{c} 1 \\2 \\ -3 \end{array}\right]的L_1, L_2, L_{\infty}范数是多少？
范数
范数（英语：Norm），是具有“长度”概念的函数。在线性代数、泛函分析及相关的数学领域，是一个函数，其为向量空间内的所有向量赋予非零的正长度或大小。另一方面，半范数（英语：seminorm）可以为非零的向量赋予零长度。
举一个简单的例子，一个二维度的欧几里得空间{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}就有欧氏范数。在这个向量空间的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡尔座标系统被画成一个从原点出发的箭号。每一个向量的欧氏范数就是箭号的长度。
拥有范数的向量空间就是赋范向量空间。同样，拥有半范数的向量空间就是赋半范向量空间。
L_0范数
向量中非0的元素的个数。
L_1范数
向量元素绝对值之和。
||x||_1=\sum^n_{i=1}|x_i|L_2范数
Euclid范数（欧几里得范数，常用计算向量长度），即向量元素绝对值的平方和再开方。
||x||_2=\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}L_\infty范数
所有向量元素绝对值中的最大值。
||x||_\infty=\max_x|x_i|
L_{-\infty}范数
所有向量元素绝对值中的最小值。
||x||_{-\infty}=\min_x|x_i|L_p范数
向量元素绝对值的p次方和的1/p次幂。
||x||_p=(\sum^n_{i=1}|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}解答
- L_1范数：||x||_1=\sum^n_{i=1}|x_i|=1+2+3=6
- L_2范数：||x||_2=\sqrt{\sum^n_{i=1}x_i^2}=\sqrt{1+2^2+3^2}=\sqrt{14}
- L_\infty范数：||x||_\infty=\max_x|x_i|=3
矩阵
考虑如下矩阵
A= \left[\begin{array}{c c c c} 0&1&2&0\\0&5&0&-1\\2&0&3&4\\0&-1&1&0 \end{array}\right]- 该矩阵的秩是多少？
- 该矩阵的迹是多少？
- 该矩阵的行列式是多少？
- 如何表示该矩阵的列空间和零空间？
- 该矩阵可逆吗？如果可逆，其逆矩阵是什么？
矩阵的秩
在线性代数中，一个矩阵{\displaystyle A}的列秩是列向量生成的最大线性无关组的向量个数。类似地，行秩是矩阵{\displaystyle A}的线性无关的横行的个数。矩阵的列秩和行秩总是相等的，因此它们可以简单地称作矩阵{\displaystyle A}的秩（Rank）。通常表示为
{\displaystyle \mathrm {r} (A)}，rank({\displaystyle \mathrm {rank} (A)})或rk({\displaystyle \mathrm {rk} (A)})。
通过初等行变换将矩阵变化为行最简型，观察非零子式的最高阶数就是秩。
对矩阵A进行初等行变换：
\left[\begin{array}{c c c c} 0&1&2&0\\0&5&0&-1\\2&0&3&4\\0&-1&1&0 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c c c c} 0&0&3&0\\0&5&0&-1\\2&0&0&4\\0&-1&0&0 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c c c c} 0&0&3&0\\0&0&0&-1\\2&0&0&0\\0&-1&0&0 \end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c c c c} 2&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&3&0\\0&0&0&-1 \end{array}\right]所以秩： rank(A)=4
矩阵的迹
矩阵的迹是矩阵主对角线元素之和。
所以迹：tr(A)=0+5+3+0=8
矩阵行列式
方阵可以计算矩阵行列式。
det(A)= \left|\begin{array}{c c c c} 0&1&2&0\\0&5&0&-1\\2&0&3&4\\0&-1&1&0 \end{array}\right| =2\times \left|\begin{array}{c c c} 1&2&0\\5&0&-1\\-1&1&0 \end{array}\right| =2\times 1\times \left|\begin{array}{c c} 1&2\\-1&1 \end{array}\right|=2\times 1\times 3=6矩阵列空间
列空间是由一个矩阵的列向量所构造的子空间。
C(A)=\left\{\begin{array}{c c c c}
\left[\begin{array}{c}
0\\0\\2\\0
\end{array}\right]
&\left[\begin{array}{c}
1\\5\\0\\-1
\end{array}\right]
&\left[\begin{array}{c}
2\\0\\3\\1
\end{array}\right]
&\left[\begin{array}{c}
0\\-1\\4\\0
\end{array}\right]
\end{array}\right\}